Свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Это утверждение непосредственно следует из определения интеграла как числа, равного пределу интегральных сумм. В случае неотрицательной подинтегральной функции утверждение особенно очевидно, так как площадь соответствующей криволинейной трапеции не зависит от обозначения оси абсцисс.

2. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, т.е. при :

Доказательство. Согласно формуле имеем:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

, для любого числа k.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения Т промежутка ОХ от до и любого выбора точек

.

Переходя к пределу при стремлении шага разбиения к нулю, получаем:

4. Определенный интеграл от суммы двух функций f1(x) и f2(x) равен сумме определенных интегралов от слагаемых, т.е.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения промежутка от до и любого выбора точек

Так как ,

,

то получаем что

.

5. Если отрезок [a,b] разбит точкой С на две части [a,c] и [c,b], то

Доказательство. Так как интеграл , равный пределу интегральных сумм, не зависит от применяемого при составлении интегральных сумм способа разбиения отрезка на части, можно рассматривать только те разбиения, в которых точка входит в качестве точки деления. Тогда

,

где и - суммы, соответствующие отрезкам деления, попавшим соответственно на отрезки и .

Переходя к пределу, при стремлении шага разбиения отрезка к нулю, получим:

,

,

а значит,

6. Если всюду на отрезке функция , то

.

Доказательство. В самом деле, любая интегральная сумма

для функции на отрезке неотрицательна, так как

, , .

Переходя к пределу в неравенстве , получаем .

7. Если всюду на отрезке , то .

8. Для функции , заданной на отрезке, имеет место неравенство

Статьи по теме:

Теории профессионально-важных качеств в трудах отечественных и зарубежных психологов
Педагогическая профессия относится к профессиям типа " Человек—Человек". Согласно Е.А. Климову, этот тип профессий определяется следующими качествами человека: устойчиво хороший самочувствием в ходе работы с людьми, потребностью в общении . способностью мысленно ставить себя на место друг ...

Общенаучные модели интерпретации знания
Одним из центральных понятий герменевтики является понятие интерпретации. Интерпретация составляет фундаментальную основу как мышления, так и любой коммуникативной деятельности и взаимопонимания между людьми. В связи с двойственностью природы интерпретации основанное на ней понимание должно учитыва ...

Проблема развития коммуникативных умений у детей дошкольного возраста
Дошкольное детство (от 3 до 7 лет) – это отрезок жизни ребенка, когда рамки семьи раздвигаются до пределов улицы, города, страны. Если в периоды младенчества и раннего детства ребенок, находясь в кругу семьи, получал необходимые условия для своего развития, то в дошкольном возрасте расширяется круг ...