Свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Это утверждение непосредственно следует из определения интеграла как числа, равного пределу интегральных сумм. В случае неотрицательной подинтегральной функции утверждение особенно очевидно, так как площадь соответствующей криволинейной трапеции не зависит от обозначения оси абсцисс.

2. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, т.е. при :

Доказательство. Согласно формуле имеем:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

, для любого числа k.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения Т промежутка ОХ от до и любого выбора точек

.

Переходя к пределу при стремлении шага разбиения к нулю, получаем:

4. Определенный интеграл от суммы двух функций f1(x) и f2(x) равен сумме определенных интегралов от слагаемых, т.е.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения промежутка от до и любого выбора точек

Так как ,

,

то получаем что

.

5. Если отрезок [a,b] разбит точкой С на две части [a,c] и [c,b], то

Доказательство. Так как интеграл , равный пределу интегральных сумм, не зависит от применяемого при составлении интегральных сумм способа разбиения отрезка на части, можно рассматривать только те разбиения, в которых точка входит в качестве точки деления. Тогда

,

где и - суммы, соответствующие отрезкам деления, попавшим соответственно на отрезки и .

Переходя к пределу, при стремлении шага разбиения отрезка к нулю, получим:

,

,

а значит,

6. Если всюду на отрезке функция , то

.

Доказательство. В самом деле, любая интегральная сумма

для функции на отрезке неотрицательна, так как

, , .

Переходя к пределу в неравенстве , получаем .

7. Если всюду на отрезке , то .

8. Для функции , заданной на отрезке, имеет место неравенство

Статьи по теме:

Первые станции юннатов
Юннатское движение прошло сложный путь в своем становлении. В дореволюционной России юннатского движения не было – были отдельные любители природы, не объединенные общими идеями, стремлениями; не было организаций и учреждений, помогавших развивать любовь и интерес к природе у детей и подростков. По ...

Анализ результатов опытно-экспериментальной работы по формированию нравственных ценностей у учащихся 2 класса во внеклассной работе
Контрольный этап опытно-экспериментальной работы проводился с целью повторного выявления уровня сформированности нравственных ценностей после проведения внеклассных мероприятий. У учащихся диагностировалась сформированность тех же ценностей, что и в начале опытно-экспериментальной работы: доброта, ...

Особенности воспитания детей с нарушенным поведением
Как уже отмечалось, умственная отсталость олигофренической этиологии является непрогрессирующим (непрогредиентным) заболеваниями. Правильное воспитание и выбор типа учебного заведения (вспомогательная школа) позволяют этим детям оптимальным образом реализовать имеющиеся психические возможности и вп ...