Понятие определенного интеграла

Пусть -функция, непрерывная на отрезке . Разобьем отрезок на n-частичных(элементарных) отрезков . В каждом из этих последовательных отрезков выберем точку . Составим сумму вида

. (1)

Эта сумма называется интегральной для функции .

Определение1. Интегральной суммой данной функции на данном отрезке называется сумма парных произведений длин элементарных отрезков на значения функции в выделенных точках последних.

Значение интегральной суммы зависит: 1) от способа разбиения основного отрезка на элементарные и 2) от выбора промежуточных точек x в этих последних.

Если и ,то геометрически интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из n прямоугольников, основания которых есть элементарные отрезки , а высоты равны выбранным значениям функции. В общем случае интегральная сумма есть алгебраическая сумма площадей этих прямоугольников.

Пусть число точек деления n неограниченно растет и ; если при этом интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий от способа дробления отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в них, то последний называется определенным интегралом от функции .

Определение 2. Определенным интегралом от данной функции на данном промежутке (или в пределах от a до b) называется предел соответствующей интегральной суммы при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка подразбиения стремится к нулю, т.е.

. (2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования определенного интеграла (2). Заметим, что знак интеграла есть стилизованная сумма.

Функции , для которых существуют пределы интегральных сумм, называются интегрируемыми на соответствующем отрезке. Приведем без доказательства теорему об интегрируемости непрерывной функции.

Статьи по теме:

Особенности развития одаренных детей в младшем школьном возрасте
Государственная система работы с одаренными детьми включает несколько уровней. Основой этой системы является детский сад и школа, охватывающие наиболее широкий круг детей. На уровне детского сада необходимым условием является наличие навыков распознавания одаренности своих воспитанников, создание д ...

Выявление актуального уровня сформированности понятия «имя прилагательное» у учащихся третьих классов
Для выявления актуального уровня знаний об имени прилагательном мы решили использовать методику тестирования. На базе лицея № 9 «Лидер» г. Красноярска в феврале 2011 г. у учащихся 3-их классов был проведен констатирующий эксперимент. В соответствии с задачами исследования были выявлены актуальные у ...

Понятие и сущность процесса обучения, его задачи
Сущность процесса обучения - это целенаправленный педагогический процесс, который активизирует деятельность, развивает творческие навыки учащихся, - организация и стимулирование активной учебно-познавательной деятельности учащихся; - овладение научными знаниями умениями, навыками; -формирование нау ...