Понятие определенного интеграла

Пусть -функция, непрерывная на отрезке . Разобьем отрезок на n-частичных(элементарных) отрезков . В каждом из этих последовательных отрезков выберем точку . Составим сумму вида

. (1)

Эта сумма называется интегральной для функции .

Определение1. Интегральной суммой данной функции на данном отрезке называется сумма парных произведений длин элементарных отрезков на значения функции в выделенных точках последних.

Значение интегральной суммы зависит: 1) от способа разбиения основного отрезка на элементарные и 2) от выбора промежуточных точек x в этих последних.

Если и ,то геометрически интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из n прямоугольников, основания которых есть элементарные отрезки , а высоты равны выбранным значениям функции. В общем случае интегральная сумма есть алгебраическая сумма площадей этих прямоугольников.

Пусть число точек деления n неограниченно растет и ; если при этом интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий от способа дробления отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в них, то последний называется определенным интегралом от функции .

Определение 2. Определенным интегралом от данной функции на данном промежутке (или в пределах от a до b) называется предел соответствующей интегральной суммы при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка подразбиения стремится к нулю, т.е.

. (2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования определенного интеграла (2). Заметим, что знак интеграла есть стилизованная сумма.

Функции , для которых существуют пределы интегральных сумм, называются интегрируемыми на соответствующем отрезке. Приведем без доказательства теорему об интегрируемости непрерывной функции.

Статьи по теме:

Практическое задание: занимательный материал к артикуляционным упражнениям
Сказка о Весёлом Язычке Жил – был Весёлый Язычок в своём домике. Догадайся, что это за домик: В домике этом красные двери, Рядом с дверями белые звери. Любят зверюшки конфеты и плюшки. Догадались? Этот домик – рот. Двери в домике, то открываются, то закрываются(рот закрыт, открыт). Непоседливый Язы ...

Зачет – как система оценивания знаний
Зачеты как форма текущей аттестации используются при оценке уровня знаний, практических профессиональных умений и навыков (компетенции) студентов, результатов выполнения студентами предусмотренных учебным планом специальности лабораторных и расчетно-графических работ, курсовых работ (проектов), усв ...

Роль наглядности в обучении умственно отсталых детей
Дети с ограниченными возможностями здоровья редко имеют полноценную речь. Использование наглядных средств обучения является эффективным способом в развитии речи детей. Педагог становится посредником между ребенком и создаваемой системой взаимодействия с окружающим миром. Правильное обучение и воспи ...