Понятие определенного интеграла

Пусть -функция, непрерывная на отрезке . Разобьем отрезок на n-частичных(элементарных) отрезков . В каждом из этих последовательных отрезков выберем точку . Составим сумму вида

. (1)

Эта сумма называется интегральной для функции .

Определение1. Интегральной суммой данной функции на данном отрезке называется сумма парных произведений длин элементарных отрезков на значения функции в выделенных точках последних.

Значение интегральной суммы зависит: 1) от способа разбиения основного отрезка на элементарные и 2) от выбора промежуточных точек x в этих последних.

Если и ,то геометрически интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из n прямоугольников, основания которых есть элементарные отрезки , а высоты равны выбранным значениям функции. В общем случае интегральная сумма есть алгебраическая сумма площадей этих прямоугольников.

Пусть число точек деления n неограниченно растет и ; если при этом интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий от способа дробления отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в них, то последний называется определенным интегралом от функции .

Определение 2. Определенным интегралом от данной функции на данном промежутке (или в пределах от a до b) называется предел соответствующей интегральной суммы при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка подразбиения стремится к нулю, т.е.

. (2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования определенного интеграла (2). Заметим, что знак интеграла есть стилизованная сумма.

Функции , для которых существуют пределы интегральных сумм, называются интегрируемыми на соответствующем отрезке. Приведем без доказательства теорему об интегрируемости непрерывной функции.

Статьи по теме:

Запреты-обереги, приметы-суеверия, связанные с природой, с представлениями о духе-хозяине земли
1. Придя в тундру, лес, не забудь сделать подарок-угощение духу-хозяину местности. 2. Землю ножом трогать – хозяин земли заболеет. 3. Без надобности нельзя траву, куст рубить, ломать, щипать. 4. Когда река вскрывается, освобождается ото льда – плесни в воду молока, чтобы лето было хорошим. (Так же ...

Значение географического образования
Географическое образование можно рассматривать как образование, имеющее: абсолютную ценность, то есть ценность, присущую географии как предмету, развивающему мыслительные способности; относительную ценность, то есть ценность, обусловливаемую связью географии с другими предметами независимо от того, ...

Текст-рассуждение на тему "Почему птицам трудно зимой"
Чтобы птицам помочь надо знать: какие у нас птицы зимуют, чем кормятся. Улетели птичьи стаи, Лес в сугробах до ветвей. Вот тогда мы и дождались Наших северных гостей. Зимний лес не спит, а дремлет, Серебром унизан весь, Не покинув эту землю, Много птиц осталось здесь. Кто там ловко и упорно Лазит о ...