Формула Ньютона-Лейбница

Пусть F(x) – любая первообразная для функции f(x) на отрезке [a,b]. Так как первообразные Ф(х) и F(x) отличаются постоянным слагаемым, то имеет место равенство

где С- некоторое число.

Подставляя в это равенство значение х=а, будем иметь:

Таким образом, для любого значения х, ,

В частности, при x=b получаем:

Формула (3)

выражающая определенный интеграл от непрерывной функции через неопределенный, называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b)-F(a) принято условно записывать в виде:

или .

Формула (3) или, что то же формула

показывает, что определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница дает простой и удобный метод вычисления определенных интегралов от непрерывных функций, применимый в тех случаях, когда первообразная подинтегральной функции может быть найдена в элементарных функциях. Формула Ньютона – Лейбница обычно записывают в виде

.

Замечание. Удобно расширить понятие интеграла, полагая по определению при . Что

.

При таком соглашении формула Ньютона – Лейбница оказывается верной при произвольных и (в частности ).

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b]. Имеет место правило замены переменной.

Если: 1) функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке с концами () оси Ot;

2) при изменении t от до значение функции не выходит за пределы отрезка [a,b]

3) то

Действительно по формуле Ньютона-Лейбница

,

Где F(x) – какая-нибудь первообразная для функции f(x) на отрезке [a,b].

Так как при этом функция F() является первообразной для функции , непрерывной на отрезке оси Ot с концами t= и t= , то по той же формуле Ньютона-Лейбница

Статьи по теме:

Анализ психолого-педагогической литературы
Проблему познавательного интереса широко исследовали в психологии Б.Г. Ананьев, М.Ф.Беляев, Л.И.Божович, Л.А. Гордон, С.Л. Рубинштейн, В.Н.Мясищев и в педагогической литературе Г.И.Щукина, Н.Г.Морозова. Г.И.Щукина считает, что в действительности интерес выступает перед нами: - и как избирательная н ...

К.Д. Ушинский – основоположник научной педагогики
Константин Дмитриевич УШИНСКИЙ (1854–1870) родился в Туле, свое детство он провел вблизи Новгорода-Северского, бывш. Черниговской губернии, в небольшом имении родителей. Окончив Новгород-Северскую гимназию, Ушинский поступил в Московский университет на юридический факультет, который блестяще законч ...

Анализ результатов опытно-экспериментального исследования
Необходимым фактором развития коммуникативных умений у детей дошкольного возраста, по данным исследователей и практиков психологии детства, приведенным в психолого-педагогической литературе, является процесс сюжетно-ролевой игры. Цель данного исследования: теоретически обосновать и экспериментально ...