Формула Ньютона-Лейбница

Учитывая условия , заключаем, что

,

А значит,

Таким образом, если функция удовлетворяет указанным выше условиям 1,2,3, то подстановка сводит вычисление определенного интеграла

К вычислению интеграла

.

Примечание: Вычисление интеграла при a>b сводится к рассмотренному случаю, так как

= -.

Рассмотрим данный метод на конкретных примерах.

Пример1. Вычислить .

Решение. Рассмотрим подстановку . Здесь , функция и ее производная на отрезке непрерывны , при изменении t от t=0 до значения функции не выходят за пределы отрезка [0,1]. Применяя формулу замены переменной, получаем:

.

Пример2. Вычислить .

Решение. Применяя подстановку , находим ,

.

Для вычисления полученного интеграла можно применить подстановку

u=2t+3: .

Примечание. При использовании формулы замены переменной в определенном интеграле необходимо проверять выполнение перечисленных выше условий. Если эти условия нарушаются, замена переменной по указанной формуле может привести к абсурду.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть функции u= и непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b]. Проинтегрируем тождество

=

В пределах от x=a до x=b: =

Так как функция является первообразной для функции , то по формуле Ньютона-Лейбница:

(4)

Равенство (4) при этом запишется в виде:

или что то же, в виде:

. (5)

Статьи по теме:

Память и особенности её развития у дошкольников
Память является одним из важнейших психических процессов. «Без памяти, - писал С.Л.Рубинштейн, - мы были бы существами мгновения. Наше прошлое было бы мертво для будущего. Настоящее, по мере его протекания, безвозвратно исчезало бы в прошлом». По словам П.П.Блонского, память «подобна мостику, перек ...

Своеобразие восприятия сказочных персонажей художественной литературы дошкольниками с нарушением интеллекта
В программе воспитания в специализированном детском саду предусмотрено знакомство детей с художественной литературой. Им рассказывают и читают народные сказки и потешки, детские произведения отечественных и зарубежных писателей. Знакомство аномальных детей с художественной литературой является мощн ...

Содержание формы и методы формирования эстетических знаний и умений у младших школьников в процессе изучения технологии обработки природных материалов
Трудовое обучение имеет большие возможности для воспитания развития личности ребенка. В процессе занятий на уроках труда у учащихся развиваются внимание, наблюдательность, пространственные представления, воображение сообразительность, фантазия, творчество. Особое внимание необходимо уделить воспита ...