Формула Ньютона-Лейбница
Учитывая условия 
, заключаем, что
,
А значит,
Таким образом, если функция 
удовлетворяет указанным выше условиям 1,2,3, то подстановка сводит вычисление определенного интеграла
К вычислению интеграла
.
Примечание: Вычисление интеграла при a>b сводится к рассмотренному случаю, так как
= -.
Рассмотрим данный метод на конкретных примерах.
Пример1. Вычислить 
.
Решение. Рассмотрим подстановку 
. Здесь 
, функция и ее производная на отрезке 
непрерывны , при изменении t от t=0 до 
значения функции не выходят за пределы отрезка [0,1]. Применяя формулу замены переменной, получаем:
.
Пример2. Вычислить 
.
Решение. Применяя подстановку 
, находим 
,
.
Для вычисления полученного интеграла можно применить подстановку
u=2t+3: 
.
Примечание. При использовании формулы замены переменной в определенном интеграле необходимо проверять выполнение перечисленных выше условий. Если эти условия нарушаются, замена переменной по указанной формуле может привести к абсурду.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Пусть функции u=
и 
непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b]. Проинтегрируем тождество
=
В пределах от x=a до x=b: 
=
Так как функция 
является первообразной для функции 
, то по формуле Ньютона-Лейбница:
(4)
Равенство (4) при этом запишется в виде:
или что то же, в виде:
. (5)
Статьи по теме:
Образовательное пространство: теоретико-методологический аспект
Крупный вклад в научное осмысление данной проблемы внесли К.Д.Ушинский, В.И.Вернадский, И.Я.Яковлев, Н.К.Крупская, А.С.Макаренко и другие. Создание государственной системы образования тесно связано с именами: К.Н. Вентцеля, А.У. Зеленко, Е.Н. Медынского, С.Т. Шацкого и других. Исследованием специфи ...
Анализ результатов опытно-экспериментальной работы по
формированию нравственных ценностей у учащихся 2 класса во внеклассной работе
Контрольный этап опытно-экспериментальной работы проводился с целью повторного выявления уровня сформированности нравственных ценностей после проведения внеклассных мероприятий. У учащихся диагностировалась сформированность тех же ценностей, что и в начале опытно-экспериментальной работы: доброта, ...
Внешкольная работа в годы войны и послевоенный период
Большой урон внешкольным учреждениям нанесла война. Однако даже в трудных условиях военного времени в стране продолжали действовать около тысячи внешкольных детских учреждений. Они вели большую и плодотворную работу, перестраивая ее применительно к условиям военного времени. Во внеклассной работе б ...