Формула Ньютона-Лейбница
Учитывая условия 
, заключаем, что
,
А значит,
Таким образом, если функция 
удовлетворяет указанным выше условиям 1,2,3, то подстановка сводит вычисление определенного интеграла
К вычислению интеграла
.
Примечание: Вычисление интеграла при a>b сводится к рассмотренному случаю, так как
= -.
Рассмотрим данный метод на конкретных примерах.
Пример1. Вычислить 
.
Решение. Рассмотрим подстановку 
. Здесь 
, функция и ее производная на отрезке 
непрерывны , при изменении t от t=0 до 
значения функции не выходят за пределы отрезка [0,1]. Применяя формулу замены переменной, получаем:
.
Пример2. Вычислить 
.
Решение. Применяя подстановку 
, находим 
,
.
Для вычисления полученного интеграла можно применить подстановку
u=2t+3: 
.
Примечание. При использовании формулы замены переменной в определенном интеграле необходимо проверять выполнение перечисленных выше условий. Если эти условия нарушаются, замена переменной по указанной формуле может привести к абсурду.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Пусть функции u=
и 
непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b]. Проинтегрируем тождество
=
В пределах от x=a до x=b: 
=
Так как функция 
является первообразной для функции 
, то по формуле Ньютона-Лейбница:
(4)
Равенство (4) при этом запишется в виде:
или что то же, в виде:
. (5)
Статьи по теме:
Требования к организации работы учебного процесса с
использованием информационно-коммуникационных технологий
§ Урок должен проводить учитель начальных классов, т.к. он обучен методике преподавания предметов в начальной школе, знает предметный материал и возрастные особенности детей младшего школьного возраста. § Компьютерные задания должны быть составлены в соответствии с содержанием учебного предмета и м ...
Анализ опыта обучения межкультурной коммуникации
Сегодня уже общепризнано, что овладение иноязычной речью как средством международного общения невозможно без знаний о социокультурных особенностях страны изучаемого языка. Il n’est plus nécessaire de rappeler à quell point l’enseignement de la langue est inseparable de la réali ...
Сущность интеллектуальных умений учащихся
В педагогическом словаре понятие «умение» определяется следующим образом: «умения – подготовленность к практическим и теоретическим действиям, выполняемым быстро, точно и сознательно, на основе усвоенных знаний и жизненного опыта». Учебные умения предполагают использование ранее полученного опыта, ...