Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Определенный интеграл применяется в физических, механических и геометрических задачах. Особое внимание в своей работе я уделяю физическим задачам, которые могут быть использованы для проведения факультативных занятий по теме: ” Определенный интеграл”.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы P по прямой. Если действующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещение равно S, то, как известно из функции, работа A этой силы равна произведению P*S. Теперь выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.

Пусть точка движется по оси Ox под действием силы, проекция которой на ось Ox есть функция f от x . При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки M(a) в точку M(b). Покажем, что в этом случае работа A подсчитывается по формуле

. (6)

Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины Это отрезки [a;x1],[x1;x2], .,[xn-1;b]. Работа силы на всем отрезке [a;b] равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от x, при достаточно малом отрезке [a;x1] работа силы на этом отрезке приближенно равна f(a)(x1-a) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке [x1;x2] приблизительно равна f(x1)(x2-x1) и т.д.; работа на n–м отрезке приближенно равна f(xn-1)(b-xn-1). Следовательно, работа силы на всем отрезке [a;b] приближенно равна:

=

и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок [a;b]. Естественно, что это приближенное равенство переходит в точное, если считать, что

Поскольку Аn при стремится к интегралу рассматриваемой функции от a до b формула выведена.

Пример4: Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

Решение: По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину x, вычисляется по формуле , где - постоянный коэффициент пропорциональности,

точка O соответствует свободному положению пружины. Из условий задачи следует, что . Следовательно, и сила ,

Дж.

4.2 Центр масс

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1. Координата центра масс системы материальных точек с массами , расположенных на прямой в точках с координатами , находится по формуле

Статьи по теме:

Особенности отечественной педагогической мысли
В России педагогические знания, практика обучения и воспитания имеют давнюю историю. В сочинениях византийца Прокопия Кесарийского (VI в.) отмечались следующие характерные черты славян: обостренное чувство общности и справедливости; устойчивая вера в существование верховного существа; вера в магию; ...

Глухие и великие
«Недослов» 14 мая 2008 года на сцене Казанского Государственного Академического Русского Большого Драматического театра им. В.И. Качалова пройдет спектакль по мотивам произведения Ричарда Баха «Чайка по имени Джонатан Ливингстон», «Крылья даны всем» московского театрального проекта неслышащих актер ...

Порядок сдачи зачетов и экзаменов
Порядок сдачи экзаменов и зачетов определен Уставом ЮФУ. Групповая сдача экзаменов и зачетов происходит в период зимней и летней экзаменационных сессий в установленные факультетом сроки по заранее составленному расписанию. Расписание должно быть вывешено на доске объявлений. Студенты обязаны выполн ...