Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

При решении задачи будем учитывать закон Паскаля, т.е. то, что давление жидкости передается во все стороны одинаково.

Для решения задачи разобьем пластину на частей (малых горизонтальных полосок) прямыми, параллельными свободной поверхности жидкости (т.е. параллельно оси ) и проходящими через точки:

, .

Выделим одну из полосок - ю (на рисунке она заштрихована), находящуюся на глубине . Для достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно считать приближенно одинаковым а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски. Легко видеть, что основание прямоугольника зависит от глубины погружения полоски, т.е. будет функцией абсциссы . Обозначим эту функцию , . Таким образом, силу давления на полоску можно вычислить по формуле (*), т.е. имеем:

.

Просуммировав силы давления жидкости на все полоски, найдем некоторое приближение силы давления жидкости на всю пластинку:

.

Точное значение силы давления жидкости на пластинку определяется по формуле:

.

Следовательно, если учащиеся знакомы с понятием интеграла, сила давления жидкости на пластинку вычисляется по формуле

.

Далее, если еще не было введено понятие (определенного) интеграла, следует переходить к рассмотрению этого понятия следующим образом. Итак, нами рассмотрены задачи (геометрическая и физические), решение которых производилось с помощью одной и той же последовательности действий (одним и тем же методом), приводящей к построению некоторой суммы и нахождению предела этой суммы. Так как указанный метод применяется к решению большого числа математических и прикладных задач, то, естественно изучить его, абстрагируясь от конкретного содержания задач. Сущность этого метода состоит в следующем:

1. Пусть на отрезке задана произвольная однозначная функция . Отрезок разбивается на частей одинаковой длины точками , причем .

2. На каждом из отрезков разбиения выбирается произвольная точка и для каждого отрезка разбиения составляется произведения значения функции в выбранной точке на длину соответствующего отрезка , т.е. произведение вида .

Статьи по теме:

Психолого-педагогические рекомендации по развитию профессионально-важных качеств воспитателя
1. Обязательно устанавливайте личный контакт с детьми: — обращайтесь по имени; — занимайте позицию на уровне глаз ребенка (он на стуле, вы на стуле .); Используйте тактильное прикосновение (однако помните, что когда вы гладите ребенка по голове или кладете руку на его голову, это вызывает у отдельн ...

Экспериментирование как средство познания окружающего мира
В настоящее время мы являемся свидетелями того, как в системе дошкольного образования формируется еще один эффективный метод познания закономерностей и явлений окружающего мира – метод экспериментирования. Экспериментирование является одним из видов познавательной деятельности детей и взрослых. Пос ...

Анализ программных продуктов по изучению тем «Периметр» и «Площадь» с точки зрения развития творческого мышления младших школьников
В наши дни создаются программно-методические комплексы и авторские программы, в которые входит обучение нахождения периметра и площади плоских фигур в младших классах. Вот обзор нескольких из них: Программа «Уроки геометрии Кирилла и Мефодия» (см. Приложение 3) Программа «Уроки геометрии Кирилла и ...