Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

. (6)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

Пример5: Пусть вдоль стержня – отрезка [a;b] оси Ox – распределена масса плотностью , где - непрерывная функция. Покажем, что:

a) суммарная масса M стержня равна ;

b) координата центра масс равна .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками . На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равно на k – ом отрезке (в силу непрерывности ). Тогда масса k-го отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы , помещенной в точке , получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу .

Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой координат, задана фигура , ограниченная отрезком оси , прямыми и , кривой , где - однозначная, непрерывная неотрицательная на отрезке функция .

Такую фигуру называют криволинейной трапецией с основанием .

Отметим, что данная здесь терминология отличается от принятой в курсе элементарной геометрии, где отрезок называется высотой трапеции, а основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых и . Отметим также, что точка может совпадать с точкой , а точка с точкой . Поставим задачу: “Найти площадь криволинейной трапеции”.

Статьи по теме:

Характеристика выборки и методов исследования
Изучение двигательной памяти у детей старшего дошкольного возраста с фонетико-фонематическим недоразвитием речи было проведено в октябре 2011 года на базе дошкольного учреждения № 201 г. Минска. На первом этапе исследования была проведена диагностика, основной целью которой явилось изучение двигате ...

Приемы, способствующие формированию нравственных ценностей при знакомстве с произведениями В.А. Осеевой во внеклассной работе
Как было отмечено в параграфе 1.2., работа с произведениями В.Осеевой в начальной школе может быть эффективным средством формирования нравственных ценностей. Большими возможностями для использования произведений В. Осеевой с целью формирования у младших школьников нравственных ценностей обладает вн ...

Основные экологические представления в курсе «Окружающий мир»
Средством воспитания и образования младших школьников начальных классов в курсе природоведения является знакомство с элементарной целостной картиной мира. Человек должен научиться понимать окружающий мир, цену и смысл своим поступкам и окружающих людей. Детям младшего школьного возраста свойственно ...