Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

. (6)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

Пример5: Пусть вдоль стержня – отрезка [a;b] оси Ox – распределена масса плотностью , где - непрерывная функция. Покажем, что:

a) суммарная масса M стержня равна ;

b) координата центра масс равна .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками . На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равно на k – ом отрезке (в силу непрерывности ). Тогда масса k-го отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы , помещенной в точке , получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу .

Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой координат, задана фигура , ограниченная отрезком оси , прямыми и , кривой , где - однозначная, непрерывная неотрицательная на отрезке функция .

Такую фигуру называют криволинейной трапецией с основанием .

Отметим, что данная здесь терминология отличается от принятой в курсе элементарной геометрии, где отрезок называется высотой трапеции, а основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых и . Отметим также, что точка может совпадать с точкой , а точка с точкой . Поставим задачу: “Найти площадь криволинейной трапеции”.

Статьи по теме:

Роль искусства в системе эстетического воспитания дошкольников
Важность искусства в эстетическом воспитании не вызывает сомнения, так как оно является собственно его сутью. Особенность искусства как средства воспитания заключается в том, что в искусстве "сгущен, сконцентрирован творческий опыт человека, духовное богатство". Его содержание должно охва ...

Характеристика выборки и методов исследования
Проведя анализ психологический и педагогической литературы, мы пришли к выводу, что проблема использования тестов в процессе обучения математике в старших классах общеобразовательных школ является актуальной и изучена недостаточно. Для основательной проработки данной проблемы требуются обширные исс ...

Реализация экспериментальной методики эстетического воспитания старших дошкольников
Исходя из результатов констатирующего эксперимента, мы наметили для себя дальнейшую работу по развитию эстетического восприятия. Для дальнейшей исследовательской деятельности мы разделили данную группу детей на две подгруппы, по 9 человек в каждой. В начале формирующего эксперимента была сформулиро ...