Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

. (6)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

Пример5: Пусть вдоль стержня – отрезка [a;b] оси Ox – распределена масса плотностью , где - непрерывная функция. Покажем, что:

a) суммарная масса M стержня равна ;

b) координата центра масс равна .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками . На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равно на k – ом отрезке (в силу непрерывности ). Тогда масса k-го отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы , помещенной в точке , получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу .

Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой координат, задана фигура , ограниченная отрезком оси , прямыми и , кривой , где - однозначная, непрерывная неотрицательная на отрезке функция .

Такую фигуру называют криволинейной трапецией с основанием .

Отметим, что данная здесь терминология отличается от принятой в курсе элементарной геометрии, где отрезок называется высотой трапеции, а основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых и . Отметим также, что точка может совпадать с точкой , а точка с точкой . Поставим задачу: “Найти площадь криволинейной трапеции”.

Статьи по теме:

Современная педагогическая теория и практика
Особое место в истории отечественного образования и педагогики занимает XX в. В советский период (после Октябрьской революции 1917 г. до начала 1990-х гг.) были достигнуты заметные успехи в развитии образования (введение нормы бесплатного общего для всех, качественный и количественный рост среднего ...

Взаимосвязь руководителя изостудии с воспитателями групп
Девиз программы «Детство», «Чувствовать – Познавать – Творить». Эти слова определяют три взаимосвязанных линии развития ребенка. Большую роль в пробуждении детей, стимулировании воображений, желания включатся в творческую деятельность, играет линия Познания. В дошкольном возрасте процесса познания ...

Семейные традиции
Традиция переводится как исторически сложившиеся и передаваемые из поколения в поколение формы деятельности и поведения, и соответствующие им обычаи, правила, ценности. Именно традиции выступают фактором регуляции жизнедеятельности людей, это основа воспитания детей. Воспитание ребёнка начинается с ...