Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

. (6)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

Пример5: Пусть вдоль стержня – отрезка [a;b] оси Ox – распределена масса плотностью , где - непрерывная функция. Покажем, что:

a) суммарная масса M стержня равна ;

b) координата центра масс равна .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками . На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равно на k – ом отрезке (в силу непрерывности ). Тогда масса k-го отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы , помещенной в точке , получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу .

Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой координат, задана фигура , ограниченная отрезком оси , прямыми и , кривой , где - однозначная, непрерывная неотрицательная на отрезке функция .

Такую фигуру называют криволинейной трапецией с основанием .

Отметим, что данная здесь терминология отличается от принятой в курсе элементарной геометрии, где отрезок называется высотой трапеции, а основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых и . Отметим также, что точка может совпадать с точкой , а точка с точкой . Поставим задачу: “Найти площадь криволинейной трапеции”.

Статьи по теме:

Общее понятие о методах интерактивного обучения
Существующая система образования кажется для работающего в ней педагога настолько понятной, что сделанные психологами, социологами в этой области открытия или выводы кажутся совершенно неожиданными, приводят в недоумение и ставят под сомнение всю его деятельность. Исследование, описываемое в статье ...

Сказкотерапия как часть воспитательного процесса детей дошкольного и младшего школьного возраста
Данный тренинг рассчитан на детей от 6 до 10 лет. Тренинг проводится в группе из 10-20 детей примерно одного возраста, желательно, чтобы это был коллектив (школьный класс или детсадовская группа). Цель тренинга заключается в развитии творческих способностей, фантазии детей, реконструкции полноценны ...

Запреты-обереги, приметы, связанные с домашними животными
1. Оленя, собаку нельзя мучить, плохо обращаться – это грех. После этого сам будешь мучиться. 2. Оленя бить по голове – большой грех, сам заболеешь. 3. Собаки долго воют – плохая весть, кто-то умрёт. 4. Нельзя собаку снеговыбивалкой отряхивать от снега – будет пурга. 5. Когда во время охоты твоя со ...