Методические рекомендации по решению задач с помощью определенного интеграла

Докажем эти свойства.

1)

2) Если F(x)- первообразная для функции f(x), а G(x)- первообразная для g(x), то F(x)+ G(x) является первообразной для f(x)+ g(x), а потому

.

3) Если F(x)- первообразная для функции f(x), то kF(x) - первообразная для функции kf(x), следовательно,

.

Замечание. При введении определенного интеграла предполагалось , что a b. Для случаев, когда a b или a=b считают по определению

4. .

5. .

Важно отметить, что эти определения формально согласуются с формулой Ньютона-Лейбница:

,

.

Указанные здесь определения позволяют считать справедливыми соотношения 2,3, их следствия и 4 при любых значениях a и b, если на отрезке с концами a и b функции f(x) и g(x) интегрируемы. Соотношение 1 становится справедливым при любых значениях a, b и c, если функция f(x) интегрируема на наибольшем из отрезков с концами a и b, a и c, b и c.

Данное замечание можно рассматривать как пример распространения математического понятия (в данном случае понятия определенного интеграла) за пределы области, где оно первоначально возникло.

IV. Задание 1. Выведите приведенное выше следствие свойств 2 и 3.

Задание 2. Вычислите интегралы, используя свойства:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Задание 3. а) Найдите все числа A, B и C, которых функция удовлетворяет условиям:

f`(1)=0; f(2)-f`(2)=2; .

б) Найдите все числа A и B, при которых функция

удовлетворяет условиям: f`(1)=2; .

Ответы: 2. 1) 4; 2) 9; 3) 9,5; 4) 6; 5) ; 6) 6-2; 7) ; 8) 8; 9) 13; 10) . 3. а) А=-1, В=2, С=0; б) А=-, В=.

Статьи по теме:

Виды девиантного поведения
Девиантное поведение подразделяют на две большие группы - это поведение, отклоняющееся от норм психического здоровья, подразумевающее наличие явной или скрытой психопатологии; - это антисоциальное поведение, нарушающее какие-то социальные, культурные и, особенно, правовые нормы. Когда такие поступк ...

Обучение и воспитание детей со сложным дефектом
Повышенное внимание к этой (относительно небольшой) категории аномальных детей в последние годы можно объяснить дальнейшим расширением дифференцированного подхода к обучению и воспитанию аномальных детей, а также тенденцией к количественному увеличению этой категории. К детям со сложным дефектом от ...

Развитие навыков изобразительной деятельности у младших школьников на уроках тематического рисования
Рисование на темы, в отличие от рисования с натуры, является рисованием по представлению. Рисуя на тему, ребенок воспроизводит не то, что он видит перед собой, опирается не на зрительное восприятие, как при рисовании с натуры, а на имеющийся у него запас знаний и зрительных представлений о тех пред ...