Методические рекомендации по решению задач с помощью определенного интеграла
Докажем эти свойства.
1) 
2) Если F(x)- первообразная для функции f(x), а G(x)- первообразная для g(x), то F(x)+ G(x) является первообразной для f(x)+ g(x), а потому
.
3) Если F(x)- первообразная для функции f(x), то kF(x) - первообразная для функции kf(x), следовательно,
.
Замечание. При введении определенного интеграла 
предполагалось , что a b. Для случаев, когда a b или a=b считают по определению
4. 
.
5. 
.
Важно отметить, что эти определения формально согласуются с формулой Ньютона-Лейбница:
,
.
Указанные здесь определения позволяют считать справедливыми соотношения 2,3, их следствия и 4 при любых значениях a и b, если на отрезке с концами a и b функции f(x) и g(x) интегрируемы. Соотношение 1 становится справедливым при любых значениях a, b и c, если функция f(x) интегрируема на наибольшем из отрезков с концами a и b, a и c, b и c.
Данное замечание можно рассматривать как пример распространения математического понятия (в данном случае понятия определенного интеграла) за пределы области, где оно первоначально возникло.
IV. Задание 1. Выведите приведенное выше следствие свойств 2 и 3.
Задание 2. Вычислите интегралы, используя свойства:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
Задание 3. а) Найдите все числа A, B и C, которых функция 
удовлетворяет условиям:
f`(1)=0; f(2)-f`(2)=2; 
.
б) Найдите все числа A и B, при которых функция 
удовлетворяет условиям: f`(1)=2; 
.
Ответы: 2. 1) 4; 2) 9; 3) 9,5; 4) 6; 5) 
; 6) 6-2
; 7) 
; 8) 8; 9) 13; 10) 
. 3. а) А=-1, В=2, С=0; б) А=-
, В=
.
Статьи по теме:
Здоровьесберегающая организация учебного процесса
Рациональная организация учебного процесса необходима для предотвращения перегрузки, перенапряжения и обеспечения условий успешного обучения учащихся, сохранения их здоровья. Показатели рациональной организации учебного процесса: ■ Рациональное расписание учебных занятий. При составлении расп ...
Характеристика объекта и методик исследования
Для того чтобы воспитатель мог успешно выполнять свои основные задачи (обучение и воспитание ребёнка) необходимо, чтобы он был авторитетом в глазах своих воспитанников. Для этого он должен обладать двумя основными компонентами педагогического авторитета (личностным и профессиональным. Следует полаг ...
Выявление начального уровня сформированности у учащихся
экспериментального класса нравственных ценностей
Экспериментальная работа проводилась на базе 2 «В» класса МОУ СОШ №54 г. Тулы. В эксперименте приняли участие 20 человек. У учащихся диагностировалась сформированность таких нравственных ценностей, как доброта, честность, внимательное и уважительное отношение к другим людям (в том числе и к старшим ...